México, D F, 22 de junio (apro)- No es nada nuevo para nadie saber que en esta ciudad nunca hay cambio para un billete grande El otro día, sin ir más lejos, no tenía más que un billete de 200 pesos y al pagar el estacionamiento en un centro comercial al sur de la ciudad, el que controla la entrada y salida de vehículos se me quedó viendo de mala manera cuando le mostré la denominación de mi único capital en ese momento Inmediatamente me percaté de la razón de eso, pero puse cara de "lo siento, no traigo cambio" De mala gana tomó el dinero y me regresó 186 pesos en diferentes denominaciones de monedas Me lo tengo bien ganado ?me dije a mí mismo?, eso me pasa por no haber contemplado esta posibilidad cuando me metí a este infame estacionamiento Sin embargo, de regreso a casa, en medio de los tradicionales Imeca y manifestaciones cotidianas, me di cuenta que, en realidad, no es culpa mía lo que me pasó, sino del gobierno Más de uno dirá que ya es deporte nacional quejarse de lo que hacen nuestros gobernantes, pero en este caso la razón me asiste Me explico: Resulta que el problema reside en dos factores: (i) falta de una cultura matemática mínima y (ii) las denominaciones de los billetes actuales Ocurre que tenemos billetes (y/o monedas) con denominaciones de 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, 500 y 1000 (no he tenido la suerte de poseer uno de estos, si es que existen) El problema es que estas denominaciones no son números primos Como todos sabemos, los números primos son aquellos que pueden ser divididos de manera entera (sin dejar residuo) solamente entre la unidad y el número de interés Así, 10 no es primo porque puede ser dividido de manera entera por 2, 5 y 10 En cambio, 5 es un número primo, porque solamente puede ser dividido de manera entera (sin dejar residuo) por 5 y por 1 ¿Y esto qué? Pues bien, debido a este detalle, cuando uno compra algo y paga con un billete de relativa alta denominación, el que recibe nuestro dinero hace las combinaciones de los diferentes billetes que requiere para darnos el cambio exacto Debido a las denominaciones actuales, esta operación no resulta muy complicada y ésa es precisamente la razón de que los billetes tengan las denominaciones que tienen No obstante, muchas veces falta cambio, es decir, no tienen suficientes billetes de cierta denominación particular para regresarnos el dinero sobrante en la transacción Esto es una realidad y cualquiera que desee demostrarlo, vaya al puesto de periódicos con un billete de cien pesos Tendrá que darme la razón Pues bien, para solucionar este problema, las matemáticas y lo han hecho desde hace muchos siglos, y se trata de usar en las denominaciones de billetes, números primos relativos entre sí (también llamados co-primos) Dos números se dice que son primos relativos cuando no tienen factor común, excepto la unidad Por ejemplo, 10 no es primo relativo con 20, porque tienen más de un factor común a ambos, por ejemplo, 2, 5 y 10 Consideremos dos primos relativos entre sí: 11 y 13 Feas cantidades, si se quiere, pero mucho mejores para hacer transacciones monetarias sin sufrir las consecuencias de falta de cambio En matemáticas existe algo que llaman ecuaciones diofantinas Éstas permiten expresar cualquier número entero como una combinación de dos primos relativos entre sí De esta manera, entonces, si la cantidad que queremos pagar es "n", entonces podemos encontrar números "a" y "b" tales que (11*a) + (13*b) sea igual a "n" (aquí el * es el signo de multiplicación) Para resolver las ecuaciones diofantinas se sigue un procedimiento llamado algoritmo de Euclides Sin embargo, no pretendo que todos los dependientes de los comercios aprendan tales cuestiones Lo que sí podría pasar es que dichos dependientes tuvieses una calculadora de ecuaciones diofantinas Con ella, y sólo teniendo suficientes billetes de 11 y 13 pesos, se puede expresar cualquier cantidad y el resolver cuánto cambio dar, lo mostraría el display de la maquinita Pondré un par de ejemplos que muestran cómo funciona el asunto: Considérese que tengo que pagar algo que cuesta 77 pesos Si solamente tenemos billetes de 11 y 13 pesos, ¿cuántos billetes de estas denominaciones necesito dar y cuántos me tienen que regresar? Escribí un programita elemental en Delphi que encuentra tales combinaciones y por ejemplo, en el caso que nos ocupa puedo dar 7 billetes de 11 pesos, o bien, 11 billetes de 13 pesos, lo que obligará al dependiente a regresarme 6 billetes de 11 pesos Así: (-6*11)+(11*13) = 77 Fantástico! ¿Verdad? Pues bien, quizás se pueda alegar que no es tan sencillo que la gente tenga computadora para que --cada vez que necesita dar cambio-- corra este programa, pero seamos francos, las calculadoras elementales son cada vez más económicas y se han convertido en casi un asunto cotidiano Si cargamos con beeper, teléfono celular, iPod y no sé cuánto artefacto moderno más, ¿por qué no se puede tener una calculadora diofantina o, en el peor de los casos, un programita dentro del celular o del iPod? Yo creo que hace falta voluntad para este cambio, porque la verdad es que es siempre molesta la frase: "No tengo cambio ¿No trae otro billete más chico?"